Simetri ve Bileşik Dönüşümler
Simetri Dönüşümü
Bir şeklin bir noktaya veya bir doğruya göre simetriğinin alınmasına simetri (yansıma) dönüşümü denir.
Şekildeki birim kareli zeminde verilen A şeklinin d doğrusuna göre simetriği B şeklidir.
Noktanın Noktaya Göre Simetriği
A noktasının B noktasına göre simetriği C noktasıdır. Bu durumda B noktası, [AC] doğru parçasının orta noktasıdır.
\[x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} \]
ve
\[y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
Formülleri elde edilir.
A ile B ve B ile C noktaları arasındaki apsis ve ordinatları arasındaki artış ve azalış miktarları aynıdır.
Noktanın Doğruya Göre Simetriği
Bir noktanın bir doğruya göre simetriği alınırken o noktadan doğruya çizilen dik uzaklık kadar doğrunun diğer tarafında bir nokta bulunur.
A noktasının d doğrusuna göre simetriği C noktasıdır.
- Bu durumda B noktası, [AC] doğru parçasının orta noktası;
- |AB| = |BC| ve \([AC]\bot d\) dir.
Noktanın Eksenlere Göre Simetriği
Bir noktanın y eksenine göre simetriğinde ordinatı değişmez, apsis işaret değiştirir, x eksenine göre simetriğinde apsisi değişmez, ordinatı işaret değiştirir.
Şekilde A(a,b) noktasının;
- y eksenine göre simetriği B(-a, b),
- x eksenine göre simetriği C(a, -b) noktasıdır.
Noktanın Orijine Göre Simetriği
Bir noktanın orijine göre simetriği alınırken, noktanın apsis ve ordinatı işaret değiştirir.
Şekilde A(a,b) noktasının orijine göre simetriği B(-a,-b) dir.
Noktanın y = x ve y = -y Doğrusuna Göre Simetriği
Bir noktanın y = x doğrusuna göre simetriği alınırken, apsis ve ordinatı yer değiştirir.
Bir noktanın y = -x doğrusuna göre simetriği alınırken, apsis ve ordinatı hem yer hem de işaret değiştirir.
- A(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a) dır.
- A(a,b) noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği C(-b,-a) dır.
Noktanın x = a ve y = b Doğrularına Göre Simetriği
A(c,d) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği B(2a-c, d) ve y = b doğrusuna göre simetriği C(c, 2b-d) noktasıdır.
Veya; yukarıdaki gibi verileri analitik düzleme taşıyıp simetri dönüşümlerini uygulayabilirsiniz.
Bir noktanın x = a doğrusuna göre simetriği alınırken ordinatı; y = b doğrusuna göre simetriği alınırken apsisi sabit kalmaktadır.
Noktalar ile doğrular arasındaki apsis veya ordinatın artış veya azalış miktarları ise eşittir.
Örneğin; K(-3,4) noktasının x=2 doğrusuna göre simetriğinde; apsis -3 den 2 ye 5 birim olduğundan simetrisi de x=2 ye 5 birim uzaklıkta ve 7 olur.
Ordinat ise sabit kalacağından nokta (7,4) olarak bulunur.
Bir Noktanın Bir Doğruya Göre Simetriği
Şekildeki A noktasının d doğrusuna göre simetriği B noktasıdır.
- Burada \([AB]\bot d\) ve \(|AK| = |KB|\) olr.
A noktasının d doğrusuna göre simetriğini bulmak için;
- Önce eğimler çarpımı \(m_{AB}.m_d = -1\) olacağından AB doğrusunun eğimi bulunur ve denklemi yazılır.
- Sonra iki doğrunun ortak çözümünden kesişim noktasının (K) koordinatları bulunur.
- Son olarak A noktasının K nokrasına göre simetriği olan B bulunur.
Örneğin:
Bir Doğrunun Bir Noktaya Göre Simetriği
\(d_1\) doğrusunun K noktasına göre simetriği \(d_2\) doğrusudur. Bu durumda \(d_1 // d_2\) olur.
P, K, T doğrusal olmak üzere, \(|PK| = |KT|\) olur.
- \(d_1:ax+by+c=0\) doğrusunun K noktasına göre simetriğini bulmak için; \(d_1\) üzerinde koordinatlarını bildiğimiz bir P noktası alarak, P'nin K'ye göre simetriği olan T noktası bulunur.
- Ardından T'yi \(ax+by+k=0\) doğrusunda yerine yazdığımızda sabit terim (k) bulunur.
Bir doğrunun orijine göre simetriğini de bulabiliriz.
Pratik olarak \(ax+by+c=0\) doğrusunun orijine göre simetriğinde sadece sabit terim işaret değiştirir ve \(ax+by-c=0\) olur.
Bileşke Dönüşümler
Birden fazla dönüşümün uygulandığı dönüşümlere bileşke dönüşüm denir.
- 54:17
Questions
- Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bilmen gerekiyor.
