Limit ve Süreklilik

Yaklaşma Kavramı

x değişkeni bir a gerçek sayısına a'dan daha küçük değerler ile artarak yaklaşıyorsa x, a'ya soldan yaklaşıyor denir ve \(x\rightarrow a^-\) ile gösterilir.
x değişkeni bir a gerçek sayısına a'dan büyük değerler ile azalarak yaklaşıyorsa x, a'ya sağdan yaklaşıyor denir ve \(x\rightarrow a^+\) ile gösterilir.

\(L_1\) gerçek sayısına \(f(x)\) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan limiti denir ve \(lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L_1\) ile gösterilir.

\(L_2\) gerçek sayısına \(f(x)\) fonksiyonunun x=a noktasındaki sağdan limiti denir ve \(lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=L_2\) ile gösterilir.

c sayısına iki yönden yaklaşım yapılabilir.

\(lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=d\) ve \(lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=d\)

Sağdan ve soldan limitin değerleri farklı gelebilir.

f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki sağdan ve soldan limitleri birbirine eşit ise fonksiyonun x=a noktasında limiti vardır denir.

\(lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=lim_{x\rightarrow a^+}f(x) \Longrightarrow lim_{x\rightarrow a}f(x)\) vardır.

f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki sağdan ve soldan limitleri eşit değilse fonksiyonun bu noktada limiti yoktur.

Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki kopukluk olan noktalara kritik noktalar denir.

Kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limitleri incelenir.

Eğer limit araştırılan nokta, kritik nokta değilse fonksiyonun limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için o noktada tanımlı olmasına gerek yoktur.

(Limit alınan noktanın hemen sağında veya hemen solunda tanımlı olmalı)

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerinden farklı olabilir.

x değerleri a'ya sağdan yaklaşırken görüntüler de b'ye b'den küçük değerelrle yaklaşmaktadır.

\(x\rightarrow a^+\) iken \(y\rightarrow b^-\)

x değerleri a'ya soldan yaklaşırken görüntüler de c'ye c'den büyük değerlerle yaklaşmaktadır.

\(x\rightarrow a^-\) iken \(y\rightarrow c^+\)

Bir Aralığın Uç Noktalarında Limit

\(f:[a,b)\rightarrow R\) biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun grafiği şekildeki gibi olsun

f'nin a noktasındaki limiti sadece sağdan limitle belirlenir.
- \(lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=y_1\)
f'nin b noktasındaki limiti sadece soldan limitle belirlenir.
- \(lim_{x\rightarrow b^-}f(x)=y_2\)

Questions

Bir noktada limit varsa sağ ve sol limitleri birbirine eşittir.
Eğer fonksiyon kopuk değilse o noktada x yerine her sağdan ve soldan yaklaşmada direkt olarak -3 yazabiliriz.

Fonksiyon her ne kadar -2 ve -1 arasında tüm değerlerde tanımlı olsa da, parçalı ve kopuk bir fonksiyon olabilir ve kritik noktalarda limiti olmayabilir (sağdan ve soldan yaklaşma birbirine eşit olmayacağından). Bu sebeple ilk seçenek yanlıştır.
İkinci seçenek doğrudur çünkü fonksiyon x'in alacağı tüm reel sayılarda tanımlı olacağından soldan ve sağdan limit her zaman vardır. Sadece bunlar birbirine eşit olmayabilir.
Üçüncü seçenek yanlıştır çünkü fonksiyon x=-2 noktasında kopuk olmayabilir ve orada limit olabilir.